Герой Советского Союза. Стрелок 331-го стрелкового полка 100-й стрелковой дивизии 7-й армии Северо-Западного фронта, красноармеец.
Родился 29 июня 1907 года в Киеве в семье рабочего. Украинец. В 1918 году его родители погибли. Воспитывался в детдоме, затем в трудовой колонии. В 1939 году призван в ряды Красной армии. Участник советско-финляндской войны 1939-1940 годов. 29 февраля 1940 года рядовой Веселов в бою под Выборгом в критический момент атаки заменил раненого командира отделения. Умело и твёрдо управлял подчинёнными, благодаря чему отделение успешно выполнило боевую задачу. Неоднократно проявлял мужество и героизм в разведке, добывая ценные сведения о противнике. В одном из боёв получил три ранения, но остался в строю.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 марта 1940 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с финской белогвардейщиной и проявленные при этом отвагу и геройство красноармейцу Александру Михайловичу Веселову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 390).
Несмотря на полученное тяжёлое ранение, он в начале Отечественной войны снова добровольно ушел на фронт. 25 июня 1941 года, на советско-румынской границе, действуя в составе разведки, он был контужен. После выздоровления, в 1942 году, снова отправился на фронт. 7 декабря 1943 года тяжело ранен в голову. Демобилизован как инвалид 2-й группы. Жил в Киеве. Скончался 2 декабря 1969 года.
Награжден орденом Ленина, Красной Звезды, медалями.