Композитор, хоровой дирижёр, педагог. Народный артист УССР (1960).
Родился 25 декабря 1895 года в посёлке Березна Менского района Черниговской области. Член ВКП(б)/КПСС с 1946 года. В 1916 году окончил Черниговскую духовную семинарию. В 1918-1921 гг. учился в Киевском музыкально-драматическом институте имени Н.В. Лысенко. В 1933 году окончил институт экстерном. С 1919 года работал как организатор и руководитель самодеятельности, преподавал хоровое дирижирование в музыкально-учебных заведениях Киева. В 1923-1927 гг. работал в музыкально-драматическом институте, с 1931 года – в Киевской консерватории (с 1947 года – профессор). В 1941-1945 гг. научный сотрудник Института фольклора АН УССР. В 1943-1952 гг. — председатель Союза композиторов УССР.
Как композитор Г.Г. Верёвка работал в основном в области хоровой массовой песни, занимался обработками народных песен. Им написаны песни, посвящённые своему народу, родной земле: "Ой, як стало зелено", "Ой чого ти земле, молодіти стала", "І шумить, і гуде" и другие. В 1943 году организовал Украинский государственный народный хор, в 1943-1964 гг. был его художественным руководителем и главным дирижёром. В каждой стране, где проходили выступления, хор проникновенно пел песни её народа и обязательно на языке оригинала, что всегда особенно покоряло слушателей. Жил в Киеве. Скончался 21 октября 1964 года. Похоронен на Байковом кладбище. Рядом с ним похоронена его жена Элеонора Скрипчинская (1899-1992).
Награжден орденом Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, орденом "Знак Почёта", медалями. Лауреат Государственной премии СССР (1948) и Государственной премии УССР имени Т.Г. Шевченко (1968, посмертно). В 1964 году хору присвоено имя Григория Верёвки.