Герой Советского Союза.
Штурман отряда 4-го гвардейского авиационного полка 9-й гвардейской авиационной дивизии 6-го авиационного корпуса авиации дальнего действия, гвардии старший лейтенант.
Родился 6 мая 1920 года в деревне Ушаково Вашкинского района Вологодской области в семье служащего. Русский. Член ВКУ(б)/КПСС с 1942 года. В 1939 году окончил педагогическое училище, работал учителем. В том же 1939 году призван в ряды Красной Армии. В 1940 году окончил Челябинское военно-авиационное училище штурманов. В боях Великой Отечественной войны с 1941 года. Участвовал в налётах на такие важные стратегические пункты противника, как Кенигсберг, Данциг, Берлин, Будапешт, Сату-Маре, Зволен, Свени-мюнде и ряд других.
Тёплым майским вечером 1942 года с одного из фронтовых аэродромов поднялся в воздух тяжёлый бомбардировщик и взял курс на запад, в тыл врага. Командование поручило экипажу доставить боеприпасы и другие военные материалы нашим войскам, попавшим в окружение. Под прикрытием темноты самолёт пересек линию фронта и удачно ушёл от заградительного зенитного огня. Цель все ближе. Вот, наконец, подана команда, и в ночную тьму полетели парашютные мешки с грузом. Самолёт лёг на обратный курс. В пути машину атаковали вражеские истребители. Экипаж вступил в неравную схватку с противником. Первая атака отражена. Самолет невредим. Но враг настиг его и, как коршун, обрушился на свою добычу. В одну из очередных атак фашистам удалось поджечь самолет. Огненными языками пламя распространялось по машине. Экипаж пытался потушить огонь, но безуспешно. В эти критические минуты штурман Анатолий Яковлевич Верняев не растерялся и, сориентировавшись по приборам, дал команду посадить пылающую машину на занятой врагом территории. Решение рискованное, но другого выхода не было. Боевые друзья благополучно приземлились, а потом скрытно пересекли линию фронта. Весь экипаж без потерь вернулся в свою часть.
К марту 1944 года штурман отряда 4-го гвардейского авиационного полка гвардии старший лейтенант А.Я. Верняев совершил 264 боевых вылета на бомбардировку военно-промышленных объектов в глубоком тылу противника, скоплений его войск.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 марта 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования по уничтожению живой силы и техники противника и проявленные при этом мужество и героизм гвардии старшему лейтенанту Анатолию Яковлевичу Верняеву присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 3373).
После окончания Великой Отечественной войны продолжал службу в Военно-возушных силах СССР. В 1955 году окончил Высшую офицерскую лётно-тактическую школу командиров частей дальней авиации. С 1960 года подполковник А.Я. Верняев — в запасе. Жил в Киеве. Работал старшим диспетчером аэропорта. Скончался 23 июня 1997 года. Похоронен на Лесном кладбище.
Награжден орденом Ленина, тремя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Красной Звезды, медалями.