Герой Советского Союза.
Начальник военизированной пожарной части Управления внутренних дел Киевского облисполкома Украинской ССР, майор внутренней службы.
Родился 25 января 1951 года в посёлке Введенка Боровского района Кустанайской области Казахстана в семье служащего. Русский. Член КПСС с 1978 года. Окончил среднюю школу.
В органах внутренних дел СССР с 1968 года. В 1971 году окончил Свердловское пожарно-техническое училище МВД СССР, а в 1978 году - Высшую инженерную пожарно-техническую школу МВД СССР.
Когда в ночь на 26 апреля 1986 года произошёл пожар на 4-м энергоблоке Чернобыльской атомной электростанции (ЧАЭС), то уже через 7 минут после сигнала аварии первые пожарные расчёты, приписанные к ЧАЭС, вступили в борьбу с огнём. Их непосредственный начальник майор внутренней службы Л.П. Телятников, прибыв к аварийному энергоблоку, несмотря на реальную угрозу радиоактивного облучения, наравне с подчинёнными был в первых рядах огнеборцев.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 25 сентября 1986 года за мужество, героизм и самоотверженные действия, проявленные при ликвидации аварии на Чернобыльской АЭС, майору внутренней службы Леониду Петровичу Телятникову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 11549).
После лечения отважный офицер продолжил службу во внутренних войсках МВД СССР, а после развала Советского Союза служил во внутренних войсках Украины. С 1998 года генерал-майор внутренней службы Л.П. Телятников возглавлял Добровольное пожарное общество столицы Украины, являлся основателем киевского детского движения "Юный пожарный". Жил в Киеве. Скончался 2 декабря 2004 года.
Награжден орденом Ленина, медалями. В Киеве на здании Главного управления МЧС Украины, где работал Герой (улица Межигорская, дом № 8) установлена мемориальная доска.