Футболист, нападающий. Автор первого мяча, забитого советскими клубами в Кубке чемпионов. Участник Чемпионата мира по футболу 1970 года, вошёл в историю футбола как первый игрок, официально вышедший на замену (с введением правила о заменах). Впоследствии футбольный тренер. Заслуженный тренер Украины. На протяжении многих лет работал помощником главного тренера киевского «Динамо» Валерия Лобановского.
Родился 3 июня 1941 года в городе Красный Кут Саратовской области. Воспитанник футбольной школы Бердичева. Начинал играть в 1957 году за команду завода «Прогресс» в Бердичеве. Потом выступал за «Полесье» Житомир (1960—1961) и львовский СКА (1962—1964). В 1964 году стал лучшим бомбардиром украинской зоны класса «Б», забив 35 голов из командных 59 мячей львовского СКА. В этом же году львовяне дошли до четвертьфинала Кубка СССР. Осенью 1964 года сборная, собранная из лучших игроков класса «Б» провела товарищеские матчи против киевского «Динамо» (1:2, 2:2) и после тех игр быстрого нападающего с хорошим ударом взяли в Киев.
В первом же сезоне в 1965 году нападающий «Динамо» сумел получить сразу две награды — серебряную медаль за 2-е место в чемпионате СССР и титул чемпиона в турнире дублеров. По правилам игрок должен был сыграть по крайней мере 50 % игр, чтобы получить медаль, а Пузач сыграл ровно в половине матчей за «основу» и за «дубль». В конце 1960-х Пузач стал одним из ключевых игроков команды в нападении. Он играл главным образом на правом фланге атаки и прославился быстрыми рывками, неожиданными ударами без подготовки. Партнеры ценили Анатолия Пузача за хорошее виденье поля и умение отдать пас в нужное время.
Анатолий Пузач стал автором первого гола советских футболистов в Кубке европейских чемпионов. 20 сентября 1967 года в игре киевского «Динамо» с шотландским «Селтиком» (тогдашним обладателем трофея) в Глазго он открыл счет уже на 3 минуте матча. Итог того матча — 2:1 в пользу динамовцев. В первенстве 1968 года Пузач с 11 забитыми мячам стал лучшим бомбардиром команды. В следующем году нападающий дебютировал в сборной СССР в товарищеской игре со сборной ГДР, прошедшей 25 июля 1969 года в Лейпциге. В этом же матче он отметился первым голом. На чемпионате мира по футболу 1970 года в Мексике ФИФА впервые позволила командам проводить замены на протяжении игры. Во втором тайме матча открытия турнира Мексика — СССР (31 мая 1970) Анатолий Пузач заменил Виктора Серебряникова и, таким образом, вошел в историю футбола, как участник первой замены на мундиалях. Сезон 1973 года стал последним в игровой карьере Пузача. В 215 матчах чемпионатов СССР Анатолий Пузач забил 49 голов, в 16 матчах еврокубков — 7. За сборную СССР провёл 14 игр, в которых забил 2 гола.
В сентябре 1973 года в Киев из Днепропетровска приехал Валерий Лобановский — в новом чемпионате 1974 года Пузач уже входил в тренерский штаб Лобановского. До осени 1990 года Анатолий Пузач был ассистентом, а после отъезда Лобановского на Ближний Восток возглавил киевское «Динамо». Киевляне завершили сезон 1990 года на 1-ом месте в чемпионате. В 1993 году Пузач привёл динамовцев к победе в чемпионате уже независимой Украины, и оставил пост главного тренера — новым наставником стал Йожеф Сабо.
Анатолий Пузач вернулся в футбол по приезде Лобановского в 1997 году — сотрудничество длилось до 2001 года, когда продолжать работу ассистенту помешали серьезные промлемы со здоровьем. Анатолий Пузач скончался 19 марта 2006 года. Похоронен на Лесном кладбище.