Учёный-математик. Герой Социалистического Труда (1986). Герой Украины (2007). Доктор технических наук (1951), профессор (1953), действительный член Академии наук Украины (1961), действительный член Академии наук СССР (1984), действительный член научного Товарищества имени Т.Г. Шевченко во Львове (1992), иностранный академик-корреспондент Академии наук в Болонье (Италия, 1971).
Родился 3 января 1917 года в селе Шишаки Гоголевского района Полтавской области. В 1932 году экстерном окончил семилетнюю школу в Киеве и поступил на работу на Киевский консервный завод. В 1938 году окончил 10-й класс средней школы и в том же году поступил на механико-математический факультет Киевского государственного университета имени Т.Г. Шевченко.
В период учебы очень серьезно относился к военным занятиям: в школе получил значок «Ворошиловский стрелок» 2-й степени, а в университете окончил снайперские курсы. В день начала Великой Отечественной войны Юрий Митропольский пошел в партком университета и заявил, что он — снайпер и просит направить его в действующую армию. Ему ответили, что снайперских винтовок у них нет, но что по возрасту он подлежит мобилизации и ему необходимо ждать повестки из военкомата. 7 июля 1941 года он был призван в армию и направлен в город Чугуев, в 39-й запасной автобронетанковый полк. В октябре 1941 года вышел приказ наркома обороны С.К. Тимошенко о предоставлении отпуска всем студентам институтов 4-х и 5-х курсов для окончания учебы с последующим направлением их в военные училища и военные академии. Митропольский направился в Казахстан, куда в город Кзыл-Орда был эвакуирован Киевский университет. В марте 1942 года Юрий Митропольский успешно сдал все экзамены в Казахском государственном университете имени С.М. Кирова и был направлен в Рязанское артиллерийское училище в город Талгар, которое окончил в марте 1943 года и в звании лейтенанта был направлен на Степной фронт.
После демобилизации с 1946 года Ю.А. Митропольский работал в Академии наук Украины в городе Киеве. За это время работал младшим научным сотрудником (1946-1948), старшим научным сотрудником в Институте строительной механики АН УССР (1949-1951). С 1951 года трудился в Институте математики АН УССР: старший научный сотрудник (1951-1953), заведующий отделом (1953-1956), заместитель директора по научной части (1956-1958), директор института (1958-1988), почетный директор института (с 1988 года). Одновременно с работой в Институте математики он возглавлял в президиуме АН УССР ряд отделений: физико-математических наук (1961-1963), математики, механики и кибернетики (1963-1982), математики и механики (1982-1986), математики (1986-1990). С 1991 года Ю.А. Митропольский — советник президиума Национальной академии наук Украины. Одновременно с научной и научно-организаторской работой в Академии наук Ю.А. Митропольский многие годы работал в Киевском государственном университете имени Т.Г. Шевченко доцентом (1949-1951), заведующим кафедрой (1951-1953), профессором кафедры дифференциальных уравнений (1954-1989), читал лекции и руководил аспирантами, им подготовлено 100 кандидатов и 25 докторов физико-математических наук.
Вся творческая биография Ю.А. Митропольского связана в основном с развитием теории нелинейных колебаний и дифференциальных уравнений. Результаты этих исследований обобщены в 300 научных публикациях в отечественных и зарубежных журналах, а также в 30 индивидуальных и коллективных монографиях, среди которых выделяются: «Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах» (1955), «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний» (1955), «Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний» (1964), «Нелинейная механика. Одночастотные колебания» (1997), «Метод усреднения в нелинейной механике» (1971) и др. Научные результаты, полученные Ю.А. Митропольским, вошли в ряд фундаментальных отечественных и зарубежных монографий, в том числе: «Вибрации в технике» (1978), И.Н. Моисеев «Асимптотические методы нелинейной механики» (1969).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 декабря 1986 года за выдающиеся заслуги в развитии математической науки и подготовке научных кадров Юрию Алексеевичу Митропольскому присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали "Серп и молот".
Указом Президента Украины № 30/2007 от 18 января 2007 года за особый личный вклад в укрепление научного потенциала Украины, выдающиеся достижения в развитии и организации фундаментальных исследований в области математики, многолетнюю плодотворную научную деятельность Юрию Алексеевичу Митропольскому присвоено звание Героя Украины с вручением ордена Державы.
Жил в Киеве. Скончался 14 июня 2008 года. Похоронен на Байковом кладбище.
Он удостоен Ленинской премии (1965), Государственной премии УССР (1980), Государственной премии Украины (1997), премий НАН Украины имени выдающихся академиков: Н.М. Крылова (1969), Н.Н. Боголюбова (1993), М.А. Лаврентьева (1999). За цикл работ «Асимптотические методы нелинейной механики» он отмечен Золотой медалью имени А.М. Ляпунова (1986). В 1977 году президиум Академии наук ЧССР наградил его серебряной медалью «За заслуги перед наукой и человечеством». Ему присвоены звания Заслуженного деятеля науки Украинской ССР (1967), почетного доктора Киевского национального университета имени Т.Г. Шевченко (1999), «Почетный Соровский профессор» Соровского международного благотворительного фонда. Награжден орденами Ленина, Октябрьской Революции, Отечественной войны 2-й степени, Трудового Красного Знамени, двумя орденами Красной Звезды, «Князя Ярослава Мудрого» 5-й степени (1997), медалями.