Герой Советского Союза.
Командир орудия 372-го стрелкового полка 218-й стрелковой дивизии 47-й армии Воронежского фронта, сержант.
Родился 25 октября 1912 года в посёлке Псебай Мостовского района Краснодарского края в крестьянской семье. Русский. Член КПСС с 1945 года. Работал в лесничестве Лабинского района.
В 1934 году призван в ряды Красной Армии. В 1936 году демобилизовался. Вторично призван в 1941 году. В боях Великой Отечественной войны с августа 1943 года. Воевал на Воронежском фронте.
Командир орудия 372-го стрелкового полка сержант А.П. Лиморенко в течение двух месяцев летом 1943 года непрерывно действовал со своим расчётом в боевых порядках передовых подразделений пехоты. 29 сентября 1943 года в боях за Днепр на букринском плацдарме в Черкасской области уничтожил три танка противника. Был ранен, но продолжал вести огонь.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 3 июня 1944 года за мужество и героизм, проявленные при форсировании Днепра и удержании плацдарма сержанту Александру Парамоновичу Лиморенко присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 4474).
После окончания Великой Отечественной войны демобилизовался. Жил в Киеве. Скончался 27 октября 1981 года.
Награжден орденом Ленина, орденом Красного Знамени, орденом Отечественной войны 1-й степени, орденом Отечественной войны 2-й степени, медалями.