Герой Советского Союза.
Командир танкового взвода 244-го отдельного танкового полка 33-й армии 1-го Белорусского фронта, старший лейтенант.
Родился 6 июня 1923 года на хуторе Петривск, ныне село Петровское Вышгородского района Киевской области Украины, в семье крестьянина. Украинец. Член КПСС с 1945 года. Окончил среднюю школу.
В июне 1941 года призван в ряды Красной Армии. В 1942 году окончил Орловское танковое училище. В боях Великой Отечественной войны с февраля 1942 года. Воевал на Юго-Западном, Северо-Кавказском, 1-м Белорусском фронтах, командовал танковым взводом, потом ротой.
В январе 1945 года старший лейтенант Д.М. Кваша со взводом, действуя в передовом отряде, при прорыве глубоко эшелонированной обороны противника на Пулавском плацдарме и в ходе его преследования в направлении городов Зволень, Радом, Спала, Лодзь (Польша) уничтожил 40 автомашин, 18 танков, 75-миллиметровую батарею, четыре батареи ПТО. Было убито более сотни гитлеровцев, 123 — взято в плен.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за умелое руководство боевой группой, личную отвагу и мужество, проявленные при этом старшему лейтенанту Дмитрию Михайловичу Кваше присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 6419).
После окончания Великой Отечественной войны командовал ротой курсантов Киевского танково-технического училища, в 1954 году окончил Военную академию бронетанковых войск. С 1973 года полковник Д.М. Кваша — в запасе. Работал начальником специального строительно-монтажного управления, отдела опытного завода "Эталон", затем инженером по технике безопасности. Жил в Киеве. Скончался 7 мая 2003 года.
Награжден орденом Ленина, орденом Александра Невского, орденом Отечественной войны 1-й степени, орденом Отечественной войны 2-й степени, медалями.