Герой Советского Союза.
Командир батареи 124-го гвардейского артиллерийского полка 52-й гвардейской стрелковой дивизии 6-й гвардейской армии Воронежского фронта, гвардии капитан.
Родился 15 августа 1921 года в селе Шельпаховка Христиновского района Черкасской области в крестьянской семье. Украинец. Член КПСС с 1943 года. Окончил среднюю школу.
В 1939 году призван в ряды Красной Армии. В 1941 году окончил Харьковское артиллерийское училище. В боях Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Воевал на Воронежском фронте.
5 июля 1943 года командир батареи 124-го гвардейского артиллерийского полка гвардии капитан А.А. Гриб отличился при отражении атаки танков и пехоты врага в районе хутора Яхонтов Яковлевского района Белгородской области. Его батарея уничтожила шесть тяжёлых и четыре средних танка, семь автомашин и до трёхсот солдат и офицеров врага. В ходе боя противнику удалось прорваться к наблюдательному пункту батареи и окружить его. В рукопашной схватке гвардии капитан А.А. Гриб лично уничтожил несколько гитлеровцев, вышел из окружения и продолжил управлять батареей.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 сентября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом мужество и героизм гвардии капитану Андрею Андреевичу Грибу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 3922).
После окончания Великой Отечественной войны продолжил службу в армии. В 1952 году окончил Высшие академические курсы Генерального штаба. С 1965 года полковник А.А. Гриб — в запасе. Жил в Киеве. Скончался 19 июля 2000 года.
Награжден орденом Ленина, орденом Красного Знамени, орденом Отечественной войны 1-й степени, орденом Отечественной войны 2-й степени, орденом Красной Звезды, медалями.