Музыкант-трубач. Муж Софии Ротару. Бессменный руководитель ансамбля "Червона рута", режиссёр-постановщик практически всех концертных программ Софии Ротару.
Родился 20 января 1942 года в Черновцах. Служил в армии в далеком Нижнем Тагиле и однажды увидел на обложке журнала "Украина" удивительной красоты девушку – 17-летнюю победительницу республиканского смотра художественной самодеятельности Софию Ротару. Это была любовь с первого взгляда. Анатолий показывал журнал всем своим друзьям: "Посмотрите, какие красавицы у нас на Буковине!", а затем вырезал фотографию и повесил у себя над кроватью в казарме. В тот момент он для себя уже точно решил, что когда вернется в родные Черновцы – обязательно найдет её. И действительно, после армии Анатолий Евдокименко приехал в Черновцы и первым делом узнал в музыкальном училище адрес общежития, где жила прекрасная незнакомка и стал каждый вечер наведываться под ее окна. Целых два года София отвергала ухаживания настойчивого парня. Сначала Ротару просто не обращала на Анатолия внимания, а потом стала отсылать к нему на свидания своих подруг.
Но в один прекрасный день произошло чудо: "Я шла с подругой, - вспоминает София Михайловна, - посмотрела на него – и не знаю, что случилось. Увидела его глаза и дрожь пробежала по телу. И я все поняла – я влюбилась. Он мне опять назначил свидание, хотя был уверен, что я не приду. А я только и ждала завтрашний день. И всё, пропала… До сих пор вспоминаю самый счастливый момент в своей жизни: мой любимый сделал мне предложение и я выхожу замуж!!! Три дня и три ночи гуляло на нашей свадьбе село, музыканты играли вперемежку украинские и молдавские песни. Все было так прекрасно и неповторимо!". Спустя одиннадцать месяцев у Софии Ротару и Анатолия Евдокименко родился сын.
В 1971-ом на базе Черновицкой филармонии Анатолий Евдокименко создал ансамбль "Червона рута" - солистка София Ротару. Дебют состоялся в "Звездном городке" - тогда ансамбль узнала и полюбила вся страна. Несмотря на огромную популярность супруги, Анатолий Евдокименко никогда не был её тенью, хотя в силу своей скромности старался всегда остаться в стороне – от камер, интервью. Он был прекрасным музыкантом, художественным руководителем ансамбля, постановщиком всех концертов Софии Ротару. Жил в Киеве. Скончался 23 октября 2002 года.