Герой Советского Союза.
Разведчик-корректировщик батареи 78-го гвардейского стрелкового полка 25-й гвардейской Краснознаменной Синельниковской стрелковой дивизии 6-й армии Юго-Западного фронта, гвардии сержант.
Родился 4 декабря 1923 года в селе Манжелия Глобинского района Полтавской области в крестьянской семье. Украинец. Член КПСС с 1943 года. В 1938 году окончил семь классов средней школы. Работал радистом-киномехаником при доме отдыха Московского военного округа в Крыму.
В 1941 году призван в ряды Красной Армии. В боях Великой Отечественной войны с августа 1941 года.
Гвардии сержант А.Е. Чайка отличился в боях на плацдарме в районе села Войсковое Солонянского района Днепропетровской области. 26 сентября 1943 года по его целеуказаниям батарея успешно подавила огневые точки врага, обеспечив продвижение стрелковых подразделений.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 февраля 1944 года за мужество и отвагу, проявленные при форсировании Днепра и удержании плацдарма гвардии сержанту Алексею Емельяновичу Чайке присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 2670).
После окончания Великой Отечественной войны продолжил службу в армии. В 1956 году окончил Московскую Военно-политическую академию имени В.И. Ленина. С 1964 года полковник А.Е. Чайка — в запасе. Работал начальником отдела кадров объединения "Укрцентр-спецавтоматика". Жил в Киеве. Скончался 9 августа 1983 года.
Награжден орденом Ленина, орденом Красного Знамени, орденом Красной Звезды, медалями.