Герой Советского Союза.
Командир эскадрильи 181-го гвардейского истребительного авиационного полка 15-й гвардейской истребительной авиационной дивизии 10-го истребительного авиационного корпуса 8-й воздушной армии 4-го Украинского фронта, гвардии капитан.
Родился 4 февраля 1920 года в селе Новиково Староюрьевского района Тамбовской области в крестьянской семье. Член КПСС с 1951 года. Русский. Окончил неполную среднюю школу и фабрично-заводское училище речников. Работал рулевым пассажирского теплохода Московского речного пароходства.
В 1939 году призван в ряды Красной Армии. В том же году окончил 2-ю Борисоглебскую Краснознамённую военную авиационную школу лётчиков имени В.П. Чкалова. В боях Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Воевал на 4-м Украинском фронте.
К октябрю 1944 года гвардии капитан А.И. Балясников совершил 580 боевых вылетов. Провёл 145 воздушных боев, в которых сбил шестнадцать самолётов противника лично и пять в составе группы, уничтожил восемь аэростатов-корректировщиков.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года за мужество и героизм, проявленные в воздушных боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии капитану Алексею Ивановичу Балясникову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7315).
К концу войны один из лучших разведчиков истребительной авиации гвардии капитан А.И. Балясников совершил 620 боевых вылетов (из них 507 - на разведку), провёл 148 воздушных боев, в которых сбил 28 самолетов противника лично и 8 в группе с товарищами. Войну закончил в Праге.
С декабря 1945 года А.И. Балясников — в запасе. Работал лётчиком в системе гидрометеослужбы в Гражданском воздушном флоте. Затем был заместителем директора Малинского лесотехнического техникума Житомирской области. Последние годы жил в Киеве. Скончался 4 марта 1986 года.
Награжден орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, медалями.